一、二重积分的计算，对于初学者来说可能是一块难啃的骨头，但只要掌握了正确的方法，一切问题都将迎刃而解。**将围绕二重积分的计算，提供几个实用的例题解析，帮助读者轻松掌握这一数学技巧。

二、例题一：计算二重积分(\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy)，其中积分区域(D)为(x^2+y^2\leq1)。

1.分析积分区域：这是一个以原点为圆心，半径为1的圆。

2.积分变换：由于积分区域关于(x)轴和(y)轴对称，我们可以将原积分转化为极坐标下的积分。

3.极坐标变换：设(x=r\cos\theta)，(y=r\sin\theta)，则(dx\,dy=r\,dr\,d\theta)。

4.计算积分：(\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy=\int_0^{2\i}\int_0^1r^2\cdotr\,dr\,d\theta=\frac{1}{3}\int_0^{2\i}d\theta\int_0^1r^3\,dr=\frac{1}{3}\cdot2\i\cdot\frac{1}{4}=\frac{\i}{6})。

三、例题二：计算二重积分(\iint_D(x+y)\,dx\,dy)，其中积分区域(D)为(x^2+y^2\leq1)。

1.分析积分区域：同样是一个以原点为圆心，半径为1的圆。

2.积分变换：由于(x+y)在第一象限和第三象限的值相等，而在第二象限和第四象限的值相等，我们可以分别计算四个象限的积分，然后将结果相加。

3.计算积分：(\iint_D(x+y)\,dx\,dy=\int_0^{\frac{\i}{2}}\int_0^1(r\cos\theta+r\sin\theta)r\,dr\,d\theta=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\i}{2}}d\theta\int_0^1r^3(\cos\theta+\sin\theta)\,dr=\frac{1}{2}\cdot\frac{\i}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\i}{16})。

四、例题三：计算二重积分(\iint_D(x^2-y^2)\,dx\,dy)，其中积分区域(D)为(x^2+y^2\leq1)。

1.分析积分区域：同样是一个以原点为圆心，半径为1的圆。

2.积分变换：由于(x^2-y^2)是一个奇函数，我们可以将其转化为极坐标下的积分。

3.极坐标变换：设(x=r\cos\theta)，(y=r\sin\theta)，则(dx\,dy=r\,dr\,d\theta)。

4.计算积分：(\iint_D(x^2-y^2)\,dx\,dy=\int_0^{2\i}\int_0^1r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,dr\,d\theta=\int_0^{2\i}\cos2\theta\,d\theta\int_0^1r^2\,dr=\frac{1}{2}\int_0^{2\i}\cos2\theta\,d\theta\cdot\frac{1}{3}=0)。

通过以上三个例题的解析，我们可以看到，二重积分的计算并非不可攻破。关键在于理解积分区域的几何形状，运用合适的积分变换方法，以及熟练运用积分技巧。掌握这些方法，二重积分的计算将变得游刃有余。